齐次微分方程
微分方程 是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：
例子：这个方程有函数 y 和它的导数
dy
dx
在这里我们会了解怎样解 "齐次微分方程"
齐次微分方程
若一阶微分方程可以写成以下的格式，它便是齐次的：
dy
dx
= F(
y
x
)
我们可以用 分离变量法 来解，但首先我们需要建立一个新变量 v =
y
x
v =
y
x
也代表 y = vx
所以
dy
dx
=
d (vx)
dx
= v
dx
dx
+ x
dv
dx
（基于 积法则）
这可以简化为
dy
dx
= v + x
dv
dx
用 y = vx 和
dy
dx = v + x
dv
dx，我们便可以解这个微分方程。
让我举个例子来解释：
例子：解
dy
dx
=
x2 + y2
xy
可不可以写成 F(
x
y
) 的格式？
开始：
x2 + y2
xy
把项分开：
x2
xy
+
y2
xy
简化：
x
y
+
y
x
第一项的倒数：
(
y
x
)-1 +
y
x
行了！我们继续做：
开始：
dy
dx
= (
y
x
)-1 +
y
x
y = vx 和
dy
dx = v + x
dv
dx
v + x
dv
dx
= v-1 + v
每边减 v：
x
dv
dx
= v-1
用 分离变量法：
分离变量：
v dv =
1
x
dx
加积分符号：
∫v dv = ∫
1
x
dx
求积分：
v2
2
= ln(x) + C
设 C = ln(k)：
v2
2
= ln(x) + ln(k)
合并 ln：
v2
2
= ln(kx)
简化：
v = ±√(2 ln(kx))
代入 v =
y
x
代入 v =
y
x
:
y
x
= ±√(2 ln(kx))
简化：
y = ±x √(2 ln(kx))
解了。
再举个例子：
例子：解
dy
dx
=
y(x−y)
x2
可不可以写成 F(
x
y
) 的格式？
开始：
y(x−y)
x2
把项分开：
xy
x2
−
y2
x2
简化：
y
x
− (
y
x
)2
行了！我们继续做：
开始：
dy
dx
=
y
x
− (
y
x
)2
y = vx 和
dy
dx = v + x
dv
dx
v + x
dv
dx
= v − v2
每边减 v：
x
dv
dx
= −v2
用 分离变量法：
分离变量：
−
1
v2
dv =
1
x
dx
加积分符号：
∫−
1
v2
dv = ∫
1
x
dx
求积分：
1
v
= ln(x) + C
设 C = ln(k):
1
v
= ln(x) + ln(k)
合并 ln：
1
v
= ln(kx)
简化：
v =
1
ln(kx)
代入 v =
y
x
代入 v =
y
x
:
y
x
=
1
ln(kx)
简化：
y =
x
ln(kx)
解了。
最后一个例子：
例子：解
dy
dx
=
x−y
x+y
可不可以写成 F(
x
y
) 的格式？
开始：
x−y
x+y
除以 x：
x/x−y/x
x/x+y/x
简化：
1−y/x
1+y/x
行了！我们继续做：
开始：
dy
dx
=
1−y/x
1+y/x
y = vx 分和
dy
dx = v + x
dv
dx
v + x
dv
dx
=
1−v
1+v
每边减 v：
x
dv
dx
=
1−v
1+v
− v
得到：
x
dv
dx
=
1−v
1+v
−
v+v2
1+v
简化：
x
dv
dx
=
1−2v−v2
1+v
用 分离变量法：
分离变量：
1+v
1−2v−v2
dv =
1
x
dx
加积分符号：
∫
1+v
1−2v−v2
dv = ∫
1
x
dx
求积分：
−
1
2
ln(1−2v−v2) = ln(x) + C
设 C = ln(k)：
−
1
2
ln(1−2v−v2) = ln(x) + ln(k)
合并 ln：
(1−2v−v2)−½ = kx
求平方和取倒数：
1−2v−v2 =
1
k2x2
代入 v =
y
x
代入 v =
y
x
:
1−2(
y
x
)−(
y
x
)2 =
1
k2x2
乘以 x2：
x2−2xy−y2 =
1
k2
差不多了……不过最好把 y 也分解出来！
我们可以因式分解 x2−2xy−y2，但需要先重排式子：
倒转正负号：
y2+2xy−x2 = −
1
k2
以 c 来代替 −
1
k2
：
y2+2xy−x2 = c
每边加 2x2：
y2+2xy+x2 = 2x2+c
因式分解：
(y+x)2 = 2x2+c
取平方根：
y+x = ±√(2x2+c)
每边减 x:
y = ±√(2x2+c) − x
解了。
微积分索引